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RCS file: /home/cvs/OpenXM/doc/compalg/num.tex,v
retrieving revision 1.1.1.1
retrieving revision 1.3
diff -u -p -r1.1.1.1 -r1.3
--- OpenXM/doc/compalg/num.tex	2000/03/01 02:25:51	1.1.1.1
+++ OpenXM/doc/compalg/num.tex	2000/10/03 01:44:03	1.3
@@ -1,3 +1,4 @@
+%$OpenXM: OpenXM/doc/compalg/num.tex,v 1.2 2000/03/28 02:02:30 noro Exp $
 \chapter{整数}
 
 \section{整数の表現}
@@ -154,6 +155,16 @@ $$ t=w_{i+j}+u_iv_j+c \le (B-1)+(B-1)^2+B-1 = B^2-1$$
 2 $B7e$N?t$G$"$k. よって $t_h$, $t_l$ は $B$ 進 1 桁となり, 帰納的に,
 $w_{i+j}$, $c$ が常に $B$ 進 1 桁となることが分かる. ただし, $u_iv_j$ 
 の計算には倍精度整数乗算が必要となる.
+
+このアルゴリズムでは, 入力の桁数の積 $mn$ に比例する手間がかかる. 桁数
+の大きい数の積の手間を減らす工夫として Karatsuba 法およびFFT 法がある. 
+これらのうち, 多項式に関する Karatsuba 法についてはSection \ref{kara} 
+で述べるが, 整数に対しても全く同様のアルゴリズムが適用できる. ($B$ 進
+整数は, $B$ に関する多項式とみなせることに注意.)  一般に, Karatsuba 法
+はいくらかの overhead を伴うため, 実際には, ある桁数 (しきい値)
+を設定して, しきい値以上の桁数では Karatsuba 法, それ以下ではここで述
+べたアルゴリズムを適用することで, さまざまな桁数の数に対して高速な
+実装が得られる. 
 
 \section{除算}
 整数除算も基本は筆算と同様で, 商の上位の桁から求めていく.